Калькулятор тригонометрии

Градусы или радианы: самая частая ловушка

Если калькулятор или телефон в режиме радиан и вы вводите sin 30, ответ будет около -0,988, а не 0,5. Устройство понимает 30 как 30 радиан, а это почти 1719 градусов. Если ответ выглядит странно, первым делом проверьте индикатор DEG или RAD на экране.

То же касается таблиц и программирования. В Excel и Google Sheets функция SIN ждёт радианы, поэтому пишите =SIN(RADIANS(30)). Math.sin в JavaScript тоже работает в радианах. Этот калькулятор всегда принимает угол в градусах и отдельно показывает радианы, так что путаницы не возникает.

SOH-CAH-TOA: какую функцию выбрать

В прямоугольном треугольнике стороны всегда называют относительно рассматриваемого угла: противолежащий катет лежит напротив угла, прилежащий катет примыкает к углу, гипотенуза лежит напротив прямого угла. Английская подсказка SOH-CAH-TOA помогает запомнить три отношения.

• sin α = противолежащий катет ÷ гипотенуза (S-O-H)
• cos α = прилежащий катет ÷ гипотенуза (C-A-H)
• tan α = противолежащий катет ÷ прилежащий катет (T-O-A)

Таблица особых углов

Эти значения стоит знать наизусть: на контрольных их часто спрашивают без калькулятора. Точные значения получаются из половины равностороннего треугольника (30° и 60°) и диагонали квадрата (45°).

• 0°: sin 0, cos 1, tan 0
• 30°: sin 1/2 = 0,5, cos √3/2 ≈ 0,866, tan √3/3 ≈ 0,577
• 45°: sin и cos √2/2 ≈ 0,707, tan 1
• 60°: sin √3/2 ≈ 0,866, cos 1/2 = 0,5, tan √3 ≈ 1,732
• 90°: sin 1, cos 0, tan не определён

Уклон крыши, лестница и пандус

Уклон крыши 30°, половина ширины дома 4 м. Высота конька над стенами 4 × tan 30° ≈ 4 × 0,577 ≈ 2,31 м, длина стропила 4 ÷ cos 30° ≈ 4 ÷ 0,866 ≈ 4,62 м. Уклон в процентах - это tan × 100: 30° дают ≈ 57,7%, а 45° ровно 100%.

Обратно угол находят обратной функцией. Если конёк на высоте 2,5 м, а половина ширины 4 м, то tan α = 2,5 ÷ 4 = 0,625 и α = arctan 0,625 ≈ 32,0°. Пандус с уклоном 6% даёт угол arctan 0,06 ≈ 3,43°. Этот калькулятор считает только функцию от угла, для обратной используйте клавишу tan⁻¹ на калькуляторе.

Лестница 5 м под углом 75°: нижний конец в 5 × cos 75° ≈ 5 × 0,2588 ≈ 1,29 м от стены, верхний на высоте 5 × sin 75° ≈ 5 × 0,9659 ≈ 4,83 м.

Теоремы синусов и косинусов для любого треугольника

Если треугольник не прямоугольный, помогают две теоремы. Теорема синусов: a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C. Пример: A = 40°, B = 60°, a = 10. Третий угол C = 180 - 40 - 60 = 80°. Тогда b = 10 × sin 60° ÷ sin 40° ≈ 10 × 0,866 ÷ 0,643 ≈ 13,47 и c = 10 × sin 80° ÷ sin 40° ≈ 15,32.

Теорема косинусов нужна, когда известны две стороны и угол между ними: c² = a² + b² - 2ab × cos C. Пример: a = 7, b = 9, C = 60°. c² = 49 + 81 - 2 × 7 × 9 × 0,5 = 130 - 63 = 67, значит c ≈ 8,19. При C = 90° cos C = 0, и формула превращается в теорему Пифагора.

Углы больше 90° и отрицательные углы

На единичной окружности sin - это координата y точки, а cos - координата x, поэтому значения бывают отрицательными. sin 150° = 0,5, как у 30°, но cos 150° ≈ -0,866. Для отрицательного угла sin(-30°) = -0,5, а cos(-30°) остаётся 0,866. Полный оборот ничего не меняет: 390° дают те же значения, что и 30°.

При приближении к 90° тангенс растёт очень быстро: tan 89,9° ≈ 572,96. Ровно при 90° косинус равен нулю и тангенс не определён. Компьютерная арифметика с плавающей точкой дала бы для cos 90° не совсем ноль, поэтому калькулятор округляет результаты до шести знаков.