Калькулятор треугольника - площадь и углы

Образуют ли эти три стороны треугольник?

Прежде чем что-то считать, проверьте неравенство треугольника. Достаточно одной проверки: сумма двух коротких сторон должна быть больше самой длинной. Если это так, два других условия выполняются автоматически.

Например, стороны 2, 3 и 6: 2 + 3 = 5, это меньше 6. Две короткие палочки не дотянутся друг до друга, если их концы разнесены на 6 единиц, поэтому треугольника нет и калькулятор покажет ошибку.

Пограничный случай - стороны 3, 4 и 7. Здесь 3 + 4 = 7 ровно, то есть все три вершины лежат на одной прямой и площадь была бы нулевой. Такой "плоский" треугольник калькулятор не принимает, потому что неравенство требует строго большей суммы.

Формула Герона по шагам: стороны 5, 6 и 7

Преимущество формулы Герона в том, что не нужно знать ни высоту, ни углы. Посчитаем треугольник со сторонами a = 5, b = 6 и c = 7 метров.

• 1. Периметр: 5 + 6 + 7 = 18 м, полупериметр s = 18 ÷ 2 = 9.
• 2. Разности: s - a = 9 - 5 = 4, s - b = 9 - 6 = 3, s - c = 9 - 7 = 2.
• 3. Произведение: 9 × 4 × 3 × 2 = 216.
• 4. Квадратный корень: √216 ≈ 14,70 м².
• 5. Высота к стороне a: h = 2 × площадь ÷ a = 2 × 14,70 ÷ 5 ≈ 5,88 м.

Как углы получаются из теоремы косинусов

Наибольший угол всегда лежит напротив самой длинной стороны, поэтому сначала найдём угол C напротив стороны c = 7. Теорема косинусов даёт cos C = (a² + b² - c²) ÷ (2ab) = (25 + 36 - 49) ÷ (2 × 5 × 6) = 12 ÷ 60 = 0,2. Обратная функция arccos 0,2 даёт C ≈ 78,46°.

Так же получаются углы A ≈ 44,42° и B ≈ 57,12°. Для проверки сложите: 44,42 + 57,12 + 78,46 = 180°. Если при ручном счёте сумма вышла, скажем, 179,9°, причина обычно в округлении промежуточных результатов, а не в ошибке.

Классификация треугольников

По сторонам треугольник бывает равносторонним (все стороны равны, все углы по 60°), равнобедренным (две стороны равны, углы напротив них тоже равны) или разносторонним. По углам его можно классифицировать без вычисления углов: сравните квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других.

• c² < a² + b²: остроугольный. Пример 5, 6, 7: 49 < 61, наибольший угол 78,46°.
• c² = a² + b²: прямоугольный. Пример 6, 8, 10: 100 = 36 + 64, угол 90°.
• c² > a² + b²: тупоугольный. Пример 4, 5, 8: 64 > 41, наибольший угол ≈ 125,1°.
• Равнобедренный пример 5, 5, 6: площадь 12, оба угла при основании 53,13°.

На практике: участок, фронтон и рулетка

Калькулятор треугольника удобен там, где угол измерить трудно, а длину легко измерить рулеткой. Треугольный угол участка со сторонами 12, 15 и 20 м даёт площадь ≈ 89,67 м². Неровный сад или газон можно разбить диагоналями на несколько треугольников, измерить только прямые отрезки и сложить площади.

Фронтон дома с основанием 8 м и скатами по 5 м - равнобедренный треугольник: площадь 12 м², а высота к основанию в калькуляторе 3 м. Эта площадь нужна, чтобы оценить количество обшивочной доски или краски.

Осторожнее с очень плоскими треугольниками. Стороны 10, 10 и 19,9 дают площадь 9,94, а 10, 10 и 19,8 уже 13,97. Ошибка измерения в 10 см меняет результат почти на 40%, поэтому для такой формы лучше измерить высоту напрямую.