Калькулятор теоремы Пифагора

Школьные задачи по шагам

В задачах на теорему Пифагора первый шаг всегда один и тот же: найдите, какая сторона гипотенуза. Она лежит напротив прямого угла и всегда самая длинная. Только после этого решайте, складывать или вычитать.

• Катеты 6 и 8: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, значит c = √100 = 10.
• Гипотенуза 13, катет 5: b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, значит b = 12.
• Катеты 2 и 3: c² = 4 + 9 = 13, c = √13 ≈ 3,6056. Ответ не обязан быть целым.
• Расстояние между точками (1; 2) и (7; 10): разности 6 и 8, расстояние √(36 + 64) = 10.

Правило строителей 3-4-5 для прямого угла

Теорема работает и в обратную сторону: если для трёх сторон a² + b² = c², треугольник точно прямоугольный. На этом основан старый строительный приём. Отмерьте от угла вдоль одной стены 3 м, вдоль другой 4 м и поставьте метки. Если расстояние между ними ровно 5 м, угол равен 90°.

Для небольшого угла, например корпуса мебели, используйте 30, 40 и 50 см, для большого фундамента 6, 8 и 10 м. Чем длиннее стороны, тем меньше влияние ошибки измерения. Другие целочисленные тройки: 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25 (49 + 576 = 625).

Прямоугольный фундамент 6 × 8 м можно проверить и по диагоналям: обе должны быть 10 м. Если одна диагональ 10,05 м, а другая 9,95 м, опалубка перекошена, и её нужно сдвигать, пока диагонали не сравняются.

Лестница у стены и стропило крыши

Эмпирическое правило безопасного угла лестницы 1:4: нижний конец отстоит от стены примерно на четверть длины лестницы. Для лестницы 5 м это 1,25 м. Как высоко она достанет? Лестница - гипотенуза, поэтому в калькуляторе выберите поиск катета: √(5² - 1,25²) = √(25 - 1,5625) = √23,4375 ≈ 4,84 м.

Длина стропила: ширина дома 8 м, конёк на 2,5 м выше верха стен. Прямоугольный треугольник образуется на половине ширины, значит катеты 4 м и 2,5 м. Стропило √(16 + 6,25) = √22,25 ≈ 4,72 м. Свес карниза добавляется отдельно.

Диагонали в быту

Диагональ пола комнаты 4,2 × 3,6 м равна √(17,64 + 12,96) = √30,6 ≈ 5,53 м. Так можно понять, поместится ли длинный стол или ковёр из угла в угол.

Размер телевизора в дюймах - это диагональ экрана. Телевизор 55 дюймов 16:9: диагональ 55 × 2,54 = 139,7 см. Диагональ соотношения сторон √(16² + 9²) = √337 ≈ 18,36 части, одна часть 139,7 ÷ 18,36 ≈ 7,61 см. Ширина 16 × 7,61 ≈ 121,8 см, высота 9 × 7,61 ≈ 68,5 см.

В пространстве теорему применяют дважды. Поместится ли труба 2,5 м в ящик 2 × 1,2 × 1 м? Квадрат диагонали дна 4 + 1,44 = 5,44, пространственная диагональ √(5,44 + 1) = √6,44 ≈ 2,54 м. Поместится, если положить трубу из угла в противоположный угол.

Типичные ошибки

Большинство неверных ответов связано с одной из ошибок ниже. Хорошая проверка: гипотенуза всегда должна получиться длиннее любого из катетов.

• Квадрат суммы вместо суммы квадратов: (3 + 4)² = 49, а правильно 3² + 4² = 25.
• В режиме гипотенузы вводятся два катета, в режиме катета первое поле - гипотенуза. Если она короче катета, калькулятор покажет 0.
• Теорема не работает в треугольнике без прямого угла. Для других треугольников используйте теорему косинусов.
• Разные единицы: 1,25 м и 500 см перед расчётом нужно привести к одной единице.