Решение квадратного уравнения

Пример 1: два корня при D > 0

Решим уравнение 2x² - 7x + 3 = 0. Коэффициенты: a = 2, b = -7, c = 3. Дискриминант D = (-7)² - 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25. Так как D положительный, у уравнения два различных действительных корня.

√25 = 5, поэтому x = (7 ± 5) ÷ 4. Со знаком плюс получаем x₁ = 12 ÷ 4 = 3, со знаком минус x₂ = 2 ÷ 4 = 0,5. Проверка: 2 × 3² - 7 × 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0.

Обратите внимание, что -b здесь равно +7, потому что само b отрицательное. Если D - полный квадрат (1, 4, 9, 25, 49 ...), корни получаются рациональными. Если нет, в ответе остаётся корень, и калькулятор показывает его с округлением до четырёх знаков: например, корни x² - 2 = 0 равны ±1,4142, а точно ±√2.

Примеры 2 и 3: один корень или нет действительных корней

В уравнении x² - 6x + 9 = 0 дискриминант D = 36 - 36 = 0. Обе ветви формулы дают один ответ x = 6 ÷ 2 = 3. Это так называемый двукратный корень: левая часть - полный квадрат (x - 3)², а парабола касается оси x только в одной точке, которая одновременно является вершиной (3; 0).

В уравнении x² + 2x + 5 = 0 дискриминант D = 4 - 20 = -16. Квадратного корня из отрицательного числа среди действительных чисел нет, поэтому действительных корней нет. Вершина параболы (-1; 4): так как a > 0, ветви направлены вверх, и нижняя точка параболы лежит выше оси x.

В комплексных числах у этого уравнения всё же есть корни x = -1 ± 2i, так как √-16 = 4i. В школьном курсе обычно пишут ответ "действительных корней нет", и калькулятор поступает так же.

Запись через вершину и что означает вершина

Любую квадратичную функцию можно записать в виде y = a(x - x₀)² + y₀, где (x₀; y₀) - вершина, а x₀ = -b ÷ 2a. Функция из примера 1: 2x² - 7x + 3 = 2(x - 1,75)² - 3,125, значит, вершина (1,75; -3,125), ровно как показывает калькулятор.

Тем же приёмом можно решить уравнение без формулы. x² - 6x + 5 = 0 записываем как (x - 3)² - 4 = 0, тогда (x - 3)² = 4, x - 3 = ±2, и корни 5 и 1. Этот метод называется выделением полного квадрата, из него и выводится общая формула корней.

Вершина полезна, когда ищут наибольшее или наименьшее значение. В упрощённой модели мяч подбрасывают вверх, и его высота h = -5t² + 20t + 1 метров. Вершина (2; 21) говорит, что через две секунды мяч находится в высшей точке, на 21 м. Корни -0,0494 и 4,0494 показывают, что до земли мяч долетит примерно за 4,05 секунды, а отрицательный корень физического смысла здесь не имеет.

Теорема Виета: быстрая проверка без формулы

Сумма корней квадратного уравнения x₁ + x₂ = -b ÷ a, а произведение x₁ × x₂ = c ÷ a. Корни из примера 1, 3 и 0,5, дают сумму 3,5 = 7 ÷ 2 и произведение 1,5 = 3 ÷ 2, значит, ответ верный.

Если a = 1, корни часто можно угадать в уме. У уравнения x² + x - 12 = 0 сумма корней должна быть -1, а произведение -12. Подходят 3 и -4, поэтому x² + x - 12 = (x - 3)(x + 4). Калькулятор даёт те же корни и D = 49.

Неполные уравнения, текстовая задача и типичные ошибки

Если b = 0 или c = 0, формула не нужна. x² - 16 = 0 даёт x² = 16 и x = ±4. 3x² - 12x = 0 даёт x(3x - 12) = 0 и корни 0 и 4. Если a = 0, уравнение уже не квадратное: 2x - 6 = 0 линейное, и калькулятор выдаёт один корень x = 3.

Текстовая задача: площадь прямоугольника 40 м², а длина на 3 м больше ширины. Ширина x удовлетворяет уравнению x(x + 3) = 40, то есть x² + 3x - 40 = 0. D = 9 + 160 = 169, корни 5 и -8. Длина не может быть отрицательной, значит, ширина 5 м, а длина 8 м.

• Прежде чем выписывать коэффициенты, приведите уравнение к виду ... = 0: x² = 5x - 6 превращается в x² - 5x + 6 = 0, где b = -5.
• b² всегда неотрицательно: при b = -7 получается b² = 49, а не -49.
• На 2a делится весь числитель, а не только часть с корнем.
• Проверяйте ответ подстановкой в исходное уравнение или по теореме Виета.