Калькулятор степени, корня и логарифма

Нулевой и отрицательный показатель

Любое число, кроме нуля, в степени 0 равно 1. Чтобы понять почему, посмотрите на частное 5³ ÷ 5³: с одной стороны, это 125 ÷ 125 = 1, с другой, показатели вычитаются и получается 5⁰. Значит, 5⁰ должно быть равно 1.

Отрицательный показатель означает обратное число: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Например, 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1 ÷ 8 = 0,125, а 10⁻² = 0,01. Отрицательный показатель не делает результат отрицательным, он делает его меньше 1 (если основание больше 1).

Отрицательные степени десяти используются в научной записи очень малых чисел: 3,2 × 10⁻⁴ = 0,00032. В калькуляторе значение 10⁻⁴ получится, если ввести основание 10 и показатель -4.

Дробный показатель - это корень

Показатель 1/n означает корень n-й степени, а в общем виде a^(m/n) = (корень n-й степени из a)^m. Например, 8^(2/3): кубический корень из 8 равен 2, и 2² = 4. Точно так же 16^0,75 = 16^(3/4): корень четвёртой степени из 16 равен 2, и 2³ = 8.

Квадратный корень - это степень 0,5, поэтому √2 = 2^0,5 ≈ 1,414214. Калькулятор округляет результат до шести знаков после запятой, потому что большинство корней - иррациональные числа без конца.

С корнем из отрицательного числа нужно быть осторожным. Корень нечётной степени существует: кубический корень из -27 равен -3, ведь (-3)³ = -27, и режим корня в калькуляторе даёт этот ответ. Корня чётной степени из отрицательного числа (например, √-4) среди действительных чисел нет, и калькулятор показывает "не определено". В режиме степени сочетание отрицательного основания и дробного показателя (например, -8 и 0,333333) правильного ответа не даст, поэтому для кубического корня из отрицательного числа используйте режим корня.

Основные свойства степеней с примерами

Эти правила работают для степеней с одинаковым основанием и упрощают выражения ещё до вычисления:

Степени появляются и в бытовых процентах. Если цена три года подряд растёт на 10%, множитель равен 1,1³ = 1,331, то есть всего +33,1%, а не +30%. Каждый год рост считается от цены предыдущего года, поэтому это задача на степень, а не на сложение.

Корни часто можно упростить, вынеся полный квадрат из-под знака корня: √50 = √(25 × 2) = 5√2 ≈ 7,071068.

• При умножении показатели складываются: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
• При делении показатели вычитаются: 3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: (2³)² = 2⁶ = 64.
• Многоэтажная степень без скобок считается сверху вниз: 2^(3²) = 2⁹ = 512, а это не то же, что (2³)².
• Степень произведения: (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 1000.

Логарифм на практике: за сколько лет удвоятся деньги

Логарифм отвечает на вопрос "в какую степень?". log₁₀1000 = 3, потому что 10³ = 1000, а log₂1024 = 10, потому что 2¹⁰ = 1024. По десятичному логарифму можно узнать число цифр: целая часть плюс один. log₁₀100000 = 5, а в числе 100000 шесть цифр.

Полезное применение - время роста. Если вклад растёт на 5% в год, ищем n, при котором 1,05ⁿ = 2. Ответ: log₁,₀₅2 ≈ 14,21 года. Проверка: 1,05¹⁴ ≈ 1,98, а 1,05¹⁵ ≈ 2,08, значит, деньги удвоятся в течение пятнадцатого года. В калькуляторе введите число 2 и основание 1,05.

Свойства логарифмов повторяют свойства степеней: log(x × y) = log x + log y и log(x ÷ y) = log x - log y. Логарифм определён только для положительных чисел, а основание должно быть положительным и не равным единице, иначе калькулятор покажет "не определено".

Типичные ошибки со степенями и корнями

Учитывайте и округление. Так как результат показывается с шестью знаками после запятой, очень малое число, например 2⁻³⁰ ≈ 0,00000000093, отображается как ноль. В таком случае записывайте ответ в научном виде или уменьшите показатель.

Большинство ошибок возникает из-за неверного прочтения скобок и знаков или из-за попытки раскрыть степень и корень по сумме, как будто это умножение.

• -2² и (-2)² не одно и то же: первое равно -(2²) = -4, второе 4. Ввод отрицательного основания в калькулятор соответствует записи со скобками.
• Квадрат суммы не равен сумме квадратов: (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25.
• Корень из суммы не равен сумме корней: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 7.
• Основание и показатель нельзя менять местами: 2³ = 8, а 3² = 9.
• 0⁰ в математике спорный случай, калькулятор по соглашению выдаёт 1.