Ruutvõrrandi lahendaja

Näide 1: kaks lahendit, kui D > 0

Lahendame võrrandi 2x² - 7x + 3 = 0. Kordajad on a = 2, b = -7 ja c = 3. Diskriminant on D = (-7)² - 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25. Kuna D on positiivne, on võrrandil kaks erinevat reaalset lahendit.

√25 = 5, seega x = (7 ± 5) ÷ 4. Plussmärgiga saame x₁ = 12 ÷ 4 = 3 ja miinusmärgiga x₂ = 2 ÷ 4 = 0,5. Kontroll: 2 × 3² - 7 × 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0.

Pane tähele, et -b on siin +7, sest b ise on negatiivne. Kui D on täisruut (1, 4, 9, 25, 49 ...), tulevad lahendid ratsionaalarvud. Kui ei ole, jääb vastusesse juur ja kalkulaator näitab selle ümardatult nelja komakohani, näiteks x² - 2 = 0 lahendid on ±1,4142 ehk täpselt ±√2.

Näited 2 ja 3: üks lahend või reaalseid lahendeid pole

Võrrandis x² - 6x + 9 = 0 on D = 36 - 36 = 0. Mõlemad valemi harud annavad sama vastuse x = 6 ÷ 2 = 3. See on nn kahekordne lahend: vasak pool on täisruut (x - 3)² ja parabool puudutab x-telge ainult ühes punktis, milleks on ühtlasi haripunkt (3; 0).

Võrrandis x² + 2x + 5 = 0 on D = 4 - 20 = -16. Negatiivsest arvust ruutjuurt reaalarvudes ei ole, seega reaalseid lahendeid pole. Parabooli haripunkt on (-1; 4): kuna a > 0, avaneb parabool ülespoole ja selle madalaim punkt jääb x-teljest kõrgemale.

Kompleksarvudes on sellel võrrandil siiski lahendid x = -1 ± 2i, sest √-16 = 4i. Koolimatemaatika põhikursuses loetakse vastuseks tavaliselt "reaalsed lahendid puuduvad" ja kalkulaator käitub samamoodi.

Haripunkti kuju ja mida haripunkt tähendab

Iga ruutfunktsiooni saab kirjutada kujul y = a(x - x₀)² + y₀, kus (x₀; y₀) on haripunkt ja x₀ = -b ÷ 2a. Näite 1 funktsioon on 2x² - 7x + 3 = 2(x - 1,75)² - 3,125, seega haripunkt on (1,75; -3,125), täpselt nagu kalkulaator näitab.

Sama võttega saab võrrandit lahendada ilma valemita. x² - 6x + 5 = 0 kirjutame kujul (x - 3)² - 4 = 0, siis (x - 3)² = 4, x - 3 = ±2 ja lahendid on 5 ja 1. Seda meetodit nimetatakse täisruudu eraldamiseks ja sellest tuletatakse ka üldine lahendivalem.

Haripunkt on praktiline siis, kui otsitakse suurimat või vähimat väärtust. Lihtsustatud mudelis visatakse pall üles ja selle kõrgus on h = -5t² + 20t + 1 meetrit. Haripunkt (2; 21) ütleb, et pall on kõrgeimas punktis 21 m kahe sekundi pärast. Lahendid -0,0494 ja 4,0494 näitavad, et maapinnani jõuab pall umbes 4,05 sekundiga, negatiivne lahend siin füüsikalist tähendust ei oma.

Vieta teoreem: kiire kontroll ilma valemita

Ruutvõrrandi lahendite summa on x₁ + x₂ = -b ÷ a ja korrutis x₁ × x₂ = c ÷ a. Näite 1 lahendid 3 ja 0,5 annavad summaks 3,5 = 7 ÷ 2 ja korrutiseks 1,5 = 3 ÷ 2, seega vastus on õige.

Kui a = 1, saab lahendeid sageli peast ära arvata. Võrrandi x² + x - 12 = 0 lahendite summa peab olema -1 ja korrutis -12. Sobivad arvud on 3 ja -4, seega x² + x - 12 = (x - 3)(x + 4). Kalkulaator annab samad lahendid ja D = 49.

Mittetäielikud võrrandid, tekstülesanne ja levinud vead

Kui b = 0 või c = 0, on valem tarbetu. x² - 16 = 0 annab x² = 16 ja x = ±4. 3x² - 12x = 0 annab x(3x - 12) = 0 ja lahendid 0 ja 4. Kui a = 0, ei ole võrrand enam ruutvõrrand: 2x - 6 = 0 on lineaarne ja kalkulaator annab ühe lahendi x = 3.

Tekstülesanne: ristküliku pindala on 40 m² ja pikkus on laiusest 3 m suurem. Laius x rahuldab võrrandit x(x + 3) = 40 ehk x² + 3x - 40 = 0. D = 9 + 160 = 169, lahendid on 5 ja -8. Pikkus ei saa olla negatiivne, seega laius on 5 m ja pikkus 8 m.

• Too võrrand enne kordajate lugemist kujule ... = 0: x² = 5x - 6 muutub kujuks x² - 5x + 6 = 0, kus b = -5.
• b² on alati mittenegatiivne: kui b = -7, on b² = 49, mitte -49.
• Jaga 2a-ga kogu lugejat, mitte ainult juure osa.
• Kontrolli vastust, pannes selle algsesse võrrandisse või kasutades Vieta teoreemi.