Kolmnurga kalkulaator - pindala ja nurgad

Kas need kolm külge üldse moodustavad kolmnurga?

Enne kui midagi arvutada, tasub kontrollida kolmnurga võrratust. Piisab ühest kontrollist: kahe lühema külje summa peab olema pikem kui pikim külg. Kui see kehtib, kehtivad automaatselt ka ülejäänud kaks tingimust.

Näiteks küljed 2, 3 ja 6: 2 + 3 = 5, mis on väiksem kui 6. Kaks lühikest pulka ei ulatu teineteiseni, kui nende otsad on 6 ühiku kaugusel, seega kolmnurka ei ole ja kalkulaator annab veateate.

Piirjuhtum on küljed 3, 4 ja 7. Siin 3 + 4 = 7 täpselt, ehk kõik kolm tippu jäävad ühele sirgele ja pindala oleks null. Sellist "lamedat" kolmnurka kalkulaator ei loe kehtivaks, sest võrratus nõuab rangelt suuremat summat.

Heroni valem samm-sammult: küljed 5, 6 ja 7

Heroni valemi eelis on see, et kõrgust ega nurki pole vaja teada. Arvutame kolmnurga, mille küljed on a = 5, b = 6 ja c = 7 meetrit.

• 1. Ümbermõõt: 5 + 6 + 7 = 18 m, poolümbermõõt s = 18 ÷ 2 = 9.
• 2. Vahed: s - a = 9 - 5 = 4, s - b = 9 - 6 = 3, s - c = 9 - 7 = 2.
• 3. Korrutis: 9 × 4 × 3 × 2 = 216.
• 4. Ruutjuur: √216 ≈ 14,70 m².
• 5. Kõrgus küljele a: h = 2 × pindala ÷ a = 2 × 14,70 ÷ 5 ≈ 5,88 m.

Kuidas nurgad koosinusteoreemist tulevad

Suurim nurk on alati pikima külje vastas, seega leiame esmalt nurga C, mis on külje c = 7 vastas. Koosinusteoreem annab cos C = (a² + b² - c²) ÷ (2ab) = (25 + 36 - 49) ÷ (2 × 5 × 6) = 12 ÷ 60 = 0,2. Pöördfunktsioon arccos 0,2 annab C ≈ 78,46°.

Samamoodi saadakse nurk A ≈ 44,42° ja B ≈ 57,12°. Kontrolliks liida kokku: 44,42 + 57,12 + 78,46 = 180°. Kui oma käsitsi arvutuses saad summaks näiteks 179,9°, on põhjus tavaliselt vahetulemuste ümardamises, mitte veas.

Kolmnurkade liigitamine külgede järgi

Külgede järgi on kolmnurk võrdkülgne (kõik küljed võrdsed, kõik nurgad 60°), võrdhaarne (kaks külge võrdsed, nende vastas olevad nurgad samuti võrdsed) või erikülgne. Nurkade järgi saab liigituse teha ilma nurki arvutamata: võrdle pikima külje ruutu kahe ülejäänu ruutude summaga.

• c² < a² + b²: teravnurkne. Näide 5, 6, 7: 49 < 61, suurim nurk 78,46°.
• c² = a² + b²: täisnurkne. Näide 6, 8, 10: 100 = 36 + 64, nurk 90°.
• c² > a² + b²: nürinurkne. Näide 4, 5, 8: 64 > 41, suurim nurk ≈ 125,1°.
• Võrdhaarne näide 5, 5, 6: pindala 12, alusnurgad mõlemad 53,13°.

Praktikas: krunt, viilkolmnurk ja mõõdulint

Kolmnurga kalkulaator sobib hästi olukorda, kus nurka on raske mõõta, aga pikkust saab mõõta lindiga. Kolmnurkse krundinurga küljed 12, 15 ja 20 m annavad pindalaks ≈ 89,67 m². Ebakorrapärase aia või muru saab jagada diagonaalidega mitmeks kolmnurgaks, mõõta ainult sirgeid lõike ja liita pindalad kokku.

Maja otsaseina viilkolmnurk, mille alus on 8 m ja mõlemad kaldservad 5 m, on võrdhaarne: pindala tuleb 12 m² ja kalkulaatori kõrgus alusele on 3 m. Seda pinda läheb vaja voodrilaudade või värvi koguse hindamisel.

Ettevaatust väga lamedate kolmnurkadega. Küljed 10, 10 ja 19,9 annavad pindala 9,94, aga 10, 10 ja 19,8 juba 13,97. Kümne sentimeetri mõõtmisviga muudab tulemust ligi 40%, seega sellisel kujul tasub mõõta pigem kõrgust otse.