Astendamise, juurimise ja logaritmi kalkulaator

Null ja negatiivne astendaja

Iga nullist erinev arv astmes 0 on 1. Selle mõistmiseks vaata jagatist 5³ ÷ 5³: ühelt poolt on see 125 ÷ 125 = 1, teiselt poolt astendajad lahutatakse ja saame 5⁰. Seega peab 5⁰ olema 1.

Negatiivne astendaja tähendab pöördarvu: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Näiteks 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1 ÷ 8 = 0,125 ja 10⁻² = 0,01. Negatiivne astendaja ei tee tulemust negatiivseks, see teeb selle lihtsalt väiksemaks kui 1 (kui alus on suurem kui 1).

Kümne negatiivseid astmeid kasutatakse teaduslikus kirjaviisis väga väikeste arvude jaoks: 3,2 × 10⁻⁴ = 0,00032. Kalkulaatoris saad 10⁻⁴ väärtuse, kui sisestad aluseks 10 ja astendajaks -4.

Murdarvuline astendaja on juur

Astendaja 1/n tähendab n-astme juurt ja üldisemalt a^(m/n) = (n-astme juur arvust a)^m. Näiteks 8^(2/3): kuupjuur arvust 8 on 2 ja 2² = 4. Samamoodi 16^0,75 = 16^(3/4): neljanda astme juur arvust 16 on 2 ja 2³ = 8.

Ruutjuur on sama mis aste 0,5, seega √2 = 2^0,5 ≈ 1,414214. Kalkulaator ümardab tulemuse kuue komakohani, sest enamik juuri on irratsionaalarvud, millel lõppu ei ole.

Negatiivse arvu juurega tuleb olla ettevaatlik. Paaritu astme juur on olemas: kuupjuur arvust -27 on -3, sest (-3)³ = -27, ja kalkulaatori juure režiim annab selle vastuse. Paarisastme juurt negatiivsest arvust (näiteks √-4) reaalarvude hulgas ei ole ja kalkulaator näitab vastuseks "määramata". Astme režiimis negatiivse aluse ja murdarvulise astendaja kombinatsioon (näiteks -8 ja 0,333333) õiget vastust ei anna, seega kasuta negatiivse arvu kuupjuure jaoks juure režiimi.

Astmete põhireeglid näidetega

Need reeglid kehtivad sama alusega astmete puhul ja lihtsustavad avaldisi enne arvutamist:

Astmed tekivad ka igapäevastes protsentides. Kui hind tõuseb kolm aastat järjest 10%, on kordaja 1,1³ = 1,331 ehk kokku +33,1%, mitte +30%. Iga aasta tõus arvutatakse eelmise aasta hinnast, seega kasv on astme-, mitte liitmisülesanne.

Juuri saab sageli lihtsustada, tuues täisruudu juure märgi alt välja: √50 = √(25 × 2) = 5√2 ≈ 7,071068.

• Korrutamisel astendajad liidetakse: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
• Jagamisel astendajad lahutatakse: 3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27.
• Astme astendamisel astendajad korrutatakse: (2³)² = 2⁶ = 64.
• Sulgudeta mitmekordne aste arvutatakse ülalt alla: 2^(3²) = 2⁹ = 512, mis ei ole sama mis (2³)².
• Korrutise aste: (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 1000.

Logaritm praktikas: mitu aastat kulub raha kahekordistumiseks

Logaritm vastab küsimusele "mitmendasse astmesse?". log₁₀1000 = 3, sest 10³ = 1000, ja log₂1024 = 10, sest 2¹⁰ = 1024. Kümnendlogaritmist saab arvu kohtade arvu: täisosa pluss üks. log₁₀100000 = 5 ja arvus 100000 on 6 numbrit.

Kasulik rakendus on kasvuaeg. Kui hoius kasvab 5% aastas, otsime n, mille korral 1,05ⁿ = 2. Vastus on log₁,₀₅2 ≈ 14,21 aastat. Kontroll: 1,05¹⁴ ≈ 1,98 ja 1,05¹⁵ ≈ 2,08, seega raha kahekordistub viieteistkümnenda aasta jooksul. Kalkulaatoris sisesta arvuks 2 ja aluseks 1,05.

Logaritmi reeglid peegeldavad astmete reegleid: log(x × y) = log x + log y ja log(x ÷ y) = log x - log y. Logaritm on määratud ainult positiivsetele arvudele ning alus peab olema positiivne ja erinev ühest, muidu näitab kalkulaator vastuseks "määramata".

Levinud vead astendamisel ja juurimisel

Arvesta ka ümardamisega. Kuna tulemus näidatakse kuue komakohaga, kuvatakse väga väike arv, näiteks 2⁻³⁰ ≈ 0,00000000093, nullina. Sellisel juhul kirjuta vastus teaduslikul kujul või vähenda astendajat.

Enamik vigu tuleb sulgude ja märkide valest lugemisest või sellest, et astendamist ja juurimist üritatakse liitmise suhtes laiali jagada nagu korrutamist.

• -2² ja (-2)² ei ole sama: esimene on -(2²) = -4, teine 4. Kalkulaatorisse negatiivse aluse sisestamine vastab sulgudega kujule.
• Summa ruut ei ole ruutude summa: (3 + 4)² = 49, aga 3² + 4² = 25.
• Summa juur ei ole juurte summa: √(9 + 16) = √25 = 5, aga √9 + √16 = 7.
• Alust ja astendajat ei saa vahetada: 2³ = 8, aga 3² = 9.
• 0⁰ on matemaatikas vaieldav juht, kalkulaator annab kokkuleppeliselt vastuseks 1.